Matematica discreta Esempi

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 1

Espandi $(y + 2) (y - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 2.1.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $y$ .

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 2.2

Somma $- 6 y$ e $2 y$ .

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Passaggio 3

Espandi $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Combina i termini opposti in $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ .

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Passaggio 4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $y^{2} \cdot 12$ e $- 12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $12 y^{2}$ da $12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.1.3

Somma $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ e $0$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.3.1

Sposta $y$ .

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

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Passaggio 4.2.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.4.1

Sposta $y^{2}$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

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Passaggio 4.2.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.6.1

Sposta $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $12$ per $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

Passaggio 4.2.10

Moltiplica $- 12$ per $12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

Passaggio 4.3

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.3.1

Combina i termini opposti in $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Somma $- 48 y$ e $48 y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ e $0$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4 y^{3}$ da $- 4 y^{3}$ .

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $y^{4}$ come ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Passaggio 5.2

Riscrivi $16 y^{2}$ come ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

Passaggio 5.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Passaggio 5.4

Riscrivi il polinomio.

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

Passaggio 5.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = y^{2}$ e $b = 4 y$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

Passaggio 6

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

Passaggio 7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y^{2} - 4 y$ e $b = 12$ .

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

Passaggio 8

Scomponi.

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Passaggio 8.1

Scomponi $y^{2} - 4 y - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 6, 2$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

Passaggio 8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$